Theorie: Lineare Regression


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Vertrauensgrenzen bei der linearen Regression

: Regressionsgerade durch N Punktpaare
Y = a+bx Schätzung für y(x) = +ßx
y(x) wahrer Wert von y an der Stelle x
wahrer Achsenabschnitt
ß wahre Steigung
Voraussetzungen: y(x) ist eine exakte lineare Funktion von x
, die (unbekannte) y-Streuung, ist unabhängig von x
x ist streuungsfrei


Die statistische Beurteilung einer linearen Regression erfolgt in 3 Schritten.

  1. Ist die Regression signifikant?
  2. Bestimmung der Vertrauensgrenzen für ß
  3. Bestimmung der Vertrauensgrenzen für y(x) und für den Achsenabschnitt.

Punkt 1 bedeutet in anderen Worten: Lohnt es den Aufwand, in der Interpolation den x-abhängigen Term mitzunehmen, anstatt sich auf die Konstante (Mittelwert der yi) zu beschränken?

Punkte 1 und 2 können in einem Arbeitsgang behandelt werden: Immer dann, wenn ß = 0 im Vertrauensbereich der ß liegt, ist die Regression nicht signifikant besser als die Auswertung der yi als einfache Stichprobe.

Punkt 2: Vertrauensgrenzen der Steigung b.
Umkehrung des t-Tests mit b, s(b) und = N-2:       bunten = b-tD(P, N-2)•s(b)      boben = b+tD(P, N-2)•s(b)
Wenn bunten < 0 < boben: Verwerfen der Regression.

Punkt 3: Vertrauensgrenzen für y(x):
Umkehrung des t-tests mit Y(x), s(y) und = N – 2             

Yunten = Y(x) – tD(P,N – 2) · s(Y(x))       Yoben = Y(x) + tD(P,N – 2) · s(Y(x))

Die Vertrauensgrenzen des Achsenabschnitts ergeben sich als Spezialfall für x = 0 !





Literatur
  1. Siegmund Brandt, "Datenanalyse"
    4. Aufl. Spektrum Verlag, Heidelberg 1999
  2. Siegmund Brandt, "Beispiel- und Übungsbuch zur Datenanalyse"
    Spektrum Verlag, Heidelberg 1993
  3. W. H. H. Gränicher, "Messung beendet – was nun?
    2. Aufl., vdf/Teubner, Zürich/Stuttgart, 1996
  4. P. R. Bevington, D. Keith Robinson "Data reduction and error analysis for the physical sciences"
    2nd ed., McGraw-Hill, New York, 1994
  5. W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, "Numerical Recipes"
    Cambridge University Press, Cambridge, 1986