Werner Kuhn, Kolloid-Zeitschrift 68.Band 1934, Heft 1




wickeln wir die Funktion (3) in der Umgebung von N1 = 1/2 N. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit dafür, daß N1 = 1/2 N +a, N2 somit gleich 1/2 N - a ist. Durch Einsetzen in (3) erhalten wir:
woraus durch Auswerten auf Grund der StirIingschen Formel wird:
Es wird somit

(5)

Zur Ermittlung der Konstanten in (5) (die Genauigkeit der StirIingschen FormeI reicht hierfür nicht aus) benützen wir den Umstand, daß
sein muß, indem ja die Wahrscheinlichkeit dafür, daß N1 zwischen 0 und +N und darum a zwischen -N/2 und +N/2 fällt, gleich 1 sein muß. Wenn N als groß vorausgesetzt wird, kann für die Grenzen -unendlich und +unendlich gesetzt werden, ohne daß der Wert des Integrals sich merklich ändert. Es kommt dann:
und aus (5) wird:

(6)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Endpunkt der Kette um einen Betrag, der zwischen 2b.a und 2b(a+da) liegt, nach der positiven z-Richtung gegen den Anfangspunkt der Kette verschoben ist, ergibt sich also aus Gleichung (6) zu :

(7)

indem ja für die z-Koordinate des Endpunktes unserer Kette die Beziehung gilt:

(8)

Indem wir dies in (7) einsetzen, erhalten wir als Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Endpunkt der Kette zwischen z und z + dz liegt:

(9)



Behandlung des dreidimensionalen ProbIems.

Um zu dem räumlichen Problem zurückzukehren, d. h. zu der Frage, wo im Raume der Endpunkt der Kette zu suchen ist, wenn der Anfangspunkt in den Nullpunkt des Koordinatensystems gelegt wird, stellen wir fest, daß zu (9) genau analoge Beziehungen auch für die x- und für die y-Koordinate bestehen. Ferner stellen wir fest, daß die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Kettenendpunkt sowohl eine z-Koordinate hat, die zwischen z und z + dz fällt, wie eine x-Koordinate, die zwischen x und x + dx fällt und eine y-Koordinate, die zwischen y und y + dy fällt, gleich dem Produkt der entsprechenden Einzelwahrscheinlichkeiten ist. Man hat dann:

(10)

Für alle gleich großen Volumenelementen die den selben Abstand r = (x2 + y2 + z2)-1/2 vom Koordinatenanfangspunkt haben, ist also die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Kettenendpunkt in sie hineinfällt, dieselbe. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Kettenendpunkt einen Abstand vom Anfangspunkt hat, der zwischen r und r + dr liegt, ergibt sich damit aus (10), indem über die Volumenelemente, die die genannte Bedingung erfüllen, integriert wird. Man erhält so:

(11)

Man überzeugt sich leicht, daß, wie es sein muß, ist. Wrdr ist ja die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Endpunkt der Kette vom Anfangspunkt um die Strecke r bis r + dr entfernt liegt.

Durch Verwendung von (11) haben wir es in der Hand, beliebige Fragen, welche die Häufigkeit vorgegebener Abstände in Abhängigkeit von der Kettenlänge (Gliederzahl) betreffen, zu beantworten.

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