Werner Kuhn, Kolloid-Zeitschrift 68.Band 1934, Heft 1




uns für den Unterschied, also für die Größe

P1 - P2 = 2 p.

(30)

Die Beziehung (29) hat nun zur Folge, daß für den zweiten "Ast" des Fadens (Punkt 1/2 Z bis Z) P1' positive und P2' negative Schritte erfolgen müssen, wobei P1' -P2' = -2 p sein muß. Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses P1 - P2 = 2p; P1' - P2' = -2 p ist nun proportional der Anzahl der Realisierungsmöglichkeiten dieses Ereignisses.

Wir haben zunächst:

P1 + P2 = 1/2 Z = P1' + P2'

P1 - P2 = -P1' + P2' ; P1 = P2'

(31)

P1' = 1/2 Z - P1; P1 = 1/4 Z + p; P2 = 1/4 Z - p.

Die Anzahl Möglichkeiten, unter 1/2 Z positiven und negativen Zeichen P1 positive Zeichen zu verteilen, ist gleich und analog für P1' gleich . Die Anzahl Möglichkeiten, diese Ereignisse gleichzeitig herbeizuführen, ist gleich dem Produkt dieser Größen, also

(32)

Da nun allgemein gilt

(33)

so folgt ganz ähnlich wie im Anschluß an Gl. (3), daß der wahrscheinlichste Wert von P1 gleich Z/4, die wahrscheinlichste x-Koordinate des Fadenmittelpunktes also gleich Null ist. Um die mittlere Querausdehnung des Fadens zu finden, entwickeln wir die Funktion (32) (bzw. deren Logarithmus) ähnlich wie früher die Funktion (3) in der Umgebung von P1 = Z/4 nach der Größe P1 - Z/4 = p. Ganz ähnlich wie dort finden wir unter Benützung der StirIing'schen Formel:

woraus, da

sein muß,

folgt, so daß

wird. Da einem Werte p eine x-Koordinate x = 2b.p entspricht, folgt [analog zu Gl. (9)]:

(34)

als Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Fadenmittelpunkt eine x-Koordinate zwischen x und x + dx besitzt.

Für die y-Koordinate des Fadenmittelpunktes ergibt sich analog:

(34a)

Durch Kombination von (34) und (34a) kommt dann analog zu Gl. (10) und (11) für die Wahrscheinlichkeit dafür, daß der Fadenmittelpunkt (Punkt 1/2 Z) von der z-Achse einen Abstand besitzt, der zwischen r2 und r2 + dr2 liegt:

(35)

woraus in bekannter Weise kommt:

(36)

(37)

Es ist interessant, das Ergebnis mit Gl. (16b) zu vergleichen, welche die Längsausdehnung des Knäuels (Abstand der beiden Enden) angab. Wir finden:

was also bedeutet, daß die mittlere Querausdehnung des Knäuels zwei- bis dreimal kleiner als die mittlere Längsausdehnung des Knäuels ist.

Wenn wir jetzt nicht nur die Richtung der Längsausdehnung des Knäuels zur z-Achse, sondern auch gleichzeitig die Richtung der großen Querausdehnung (Richtung des Vektors r2) zur y-Achse und die dazu Senkrechte zur x-Achse machen und die Ausdehnung des Fadens in dieser Richtung mit r3 bezeichnen, so finden wir für r3

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